Integrace per partes

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

${\displaystyle (uv)^{\prime }=u^{\prime }v+uv^{\prime }}$

Uplatněním této věty na podmínky pro integrál vzniknou následující vzorce:

${\displaystyle \int (uv)'\,\mathrm {d} x=\int (u'v)\,\mathrm {d} x+\int (uv')\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle uv=\int (u'v)\,\mathrm {d} x+\int (uv')\,\mathrm {d} x}$

Úpravou druhé rovnice vznikne metoda integrace označovaná per partes:

${\displaystyle \int (uv')\,\mathrm {d} x=uv-\int (u'v)\,\mathrm {d} x}$

Druhý vztah získáme pouhou záměnou ${\displaystyle u\leftrightarrow v}$.

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

${\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}$

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.